Оценка пример

Особенности решения нестандартных задач по математике методом «оценка плюс пример»

Оценка пример

Темербекова Альбина Алексеевна,
доктор педагогических наук, профессор,

Деев Михаил Ефимович,
кандидат физико-математических наук, доцент,

Байгонакова Галия Аманболдыновна,
кандидат физико-математических наук, доцент,Горно-Алтайский государственный университет

Аннотация: В статье рассмотрены особенности решения нестандарт-ных задач по математике методом «оценка плюс пример», ошибки, которые допускают школьники в решениях заданий математических олимпиад, даны рекомендации для учителей, готовящих школьников к олимпиадам по мате-матике.
Ключевые слова: обучение, олимпиады, математика, задача, пример, оценка, нестандартные задачи.

В последнее время олимпиадное движение приобретает массовый ха-рактер. Сегодня олимпиады проводятся по всем предметам, изучаемым в общеобразовательной школе. Отметим, что олимпиадное движение постоянно расширяется, результаты некоторых олимпиад учитываются при поступлении абитуриентов в вузы.

История проведения всероссийских предметных олимпиад насчитывают десятилетия. Начало Всероссийских предметных олимпиад школьников связывают со становлением России как суверенного государства после распада СССР в 1991 году.

Однако история олимпиадного движения в России начинается гораздо раньше. В XIX веке «Олимпиады учащейся молодежи» проводило Астрономическое общество Российской империи.

К сожалению, до нас не дошли подробности олимпиадного движения того времени.

Олимпиада по математике имеет давнюю историю.

В 1886 году был проведен первый очный математический конкурс для выпускников лицеев в Румынии, а первая олимпиада по математике состоялась в 1894 году в Вен-грии по инициативе Венгерского физико-математического общества, возглавляемого будущим Нобелевским лауреатом по физике Л.Этвешом. Считается, что первая математическая олимпиада в России состоялась в 1934 году в Ленинграде. С тех пор олимпиады по техническим предметам стали тра-диционными.

История олимпиадного движения в России позволяет увидеть, как расставлялись приоритеты в системе образования, по ней можно проследить, ка-кие учебные предметы и в какое время считались главными, а какие – второстепенными, какие новые предметы активно входили в жизнь, а какие утра-чивали свои позиции.

Обычно, всероссийская олимпиада школьников проходит в четыре эта-па: I – школьный, II – муниципальный, III – региональный, IV – заключи-тельный. На каждом этапе олимпиада школьников решает свои задачи. Про-движение олимпиад на статус выше влечет за собой сокращение ее участников, выделяя среди них наиболее способных и талантливых.

Формирование творческого математического мышления учащихся яв-ляется одной из актуальных проблем математического образования [1; 2].

В последнее время этой проблеме уделяется очень мало внимания, так как про-цесс обучения теперь направлен на заучивание формул, схем и применение уже готовых алгоритмов решения задач.

Этим же объясняется и тот факт, что большинство учащихся не умеют доказывать математические утверждения, причем не могут даже воспроизвести готовое доказательство, не говоря уже о том, чтобы его придумать.

Конечно, не всякий школьник способен решать сложные нестандартные задачи, но творческое мышление можно развивать и совершенствовать. Любой учитель математики приведет много примеров, когда ученик, хорошо справляющийся со школьной программой, получает нули на математических олимпиадах.

В последнее время в задания третьего тура Всероссийской математической олимпиады школьников включаются задачи на доказательство с применением метода «Оценка плюс пример».

Как правило, это задачи на отыскание наибольшего или наименьшего значений, которые решаются без использования функций и теории экстремумов. Такие задачи были уже опробованы ранее в заданиях ЕГЭ, а теперь появились и в олимпиадных заданиях.

Это, без-условно, положительный факт, ведь тем самым нестандартная задача превращается в стандартную, ибо существует метод ее решения. Но беда в том, что этот метод недостаточно отработан с учащимися, а в 9-10 классах вообще неизвестен школьникам.

В требованиях к проверке олимпиадных задач такого типа отмечается, что из 7 максимальных баллов за правильное решение задачи 4 балла дается за доказательство оценки, а остальные 3 балла – за построение примера.

Суть метода и схему решения задачи разберем на следующем примере.

Задача. Десять рассеянных джентльменов, придя на званый ужин, сняли в прихожей галоши. Уходя, каждый из них надевал наугад какие-то галоши, которые не были ему малы. В результате некоторые из гостей вообще не смогли надеть никаких галош. Каково максимально возможное число таких неудачников?

Задача решается в два этапа. Сначала надо сделать и доказать оценку, а затем привести пример.

  1. Оценка. Докажем, что неудачников не может быть больше пяти. Действительно, если бы их осталось 6 (или больше), а, значит, ушло 4 (или меньше), то у некоторых гостей еще остались бы их собственные галоши, и они могли бы уйти.
  2. Пример. А теперь построим пример ситуации, когда не смогут надеть галоши ровно 5 гостей. Пусть пятеро гостей носят маленькие галоши, а остальные пять – большие. Уходя, 5 обладателей маленьких галош наденут большие галоши и уйдут, тогда не у дел останутся 5 хозяев больших галош.

Исходя из оценки и приведенного примера, мы делаем вывод, что мак-симальное число неудачников равно 5.

В 2019 году в Республике Алтай задачи на метод «Оценка плюс при-мер» предлагались во всех классах. Полностью решили задачу данного типа и получили 7 баллов всего 2 человека.

Однако некоторые учащиеся, начиная решение с примера, в рассуждениях неявно приводили доказательство оценки, пусть не совсем строгое.

Часть школьников приводили лишь примеры, не задумываясь о том, что необходимо представить решение для всех случаев, что требовало от них введения дополнительных обозначений и доказательства математического факта с помощью формул.

Таким образом, анализ практики проверки решений математических олимпиад позволяет сделать вывод о тоем, что в школе этот метод надо изучать достаточно глубоко и основательно.

Для этого на уроках, факультативах и кружках по математике, а также в процессе подготовки к олимпиадам следует объяснять школьникам различные формы представления решений олимпиадных заданий по математике и полноту представленных решений.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Темербекова А.А., Ооржак С.О., Камчыбекова Б.А. Воспитание творческой активности школьников при обучении математике // Информация и образование: границы коммуникаций INFO’17: сборник научных трудов № 9(17); под ред. А. А. Темербековой, Л. А. Альковой. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2017. – С. 178-179.
  2. Деев М.Е., Соловьев С.П., Соловьева Л.А., Темербекова А.А. Развитие творческих способностей школьников в период летних каникул // Информация и образование: границы коммуникаций INFO’18: сборник научных тру-дов № 10 (18); под ред. А. А. Темербековой, Л. А. Альковой. Г. А. Байгонаковой. – Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2018. – С. 165-166.
  3. Деев М.Е. Формирование компетенции «умение строго доказать утверждение» как составная часть подготовки школьников к математическим олимпиадам // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO’12): № 4(12). – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. – С. 39-41.

Источник: http://news.scienceland.ru/2019/04/20/%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B7/

Метод «Оценка плюс пример» в задачах ЕГЭ на числа и их свойства (задание 19)

Оценка пример

Центр подготовки к ЕГЭ > Метод «Оценка плюс пример» в задачах ЕГЭ на числа и их свойства (задание 19)

«Оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений.

Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа.

1) Оценка. Показываем, что выполнено неравенство

2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство

Сейчас покажем, как этот метод применяется в задачах. Начнем с задачи простой и умилительной. Поговорим о кроликах.

(ЕГЭ) В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй – по 200 г, третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.

а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?

в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?

а) Да, может. Например, первый и четвертый ученики кормят семь кроликов. Каждый из этих семи кроликов получает по 100 + 400 = 500 г корма. Второй и третий ученики кормят восьмерых оставшихся кроликов, которые также получат по 200 + 300 = 500 г корма.

б) Нет, не может.

Пусть среди кроликов есть «счастливец», которого покормили все школьники. Он получил максимально возможное количество корма, равное 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 г.

Среди кроликов также может быть «невезучий», которого никто не покормил. Он получил 0 грамм корма. Значит, количество корма для одного кролика может принимать 11 различных значений: 0, 100, 200, 300… 1000 грамм.

Поскольку кроликов 15, а возможных значений только 11, среди этих пятнадцати найдутся кролики, получившие одинаковое количество корма.

в) Если каждый ученик насыпал корм четверым кроликам, то всего ученики раздали кроликам

4∙(100 + 200 + 300 + 400) = 4000 г. корма.

В пункте (б) мы выяснили, что всего может быть 11 различных значений для количества корма, которое получил кролик. Но если 11 кроликов получают различное количество корма, то общее количество корма равно 0 + 100 + 200 +…+ 1000 = 5500 грамм. Это на 1500 грамм больше, чем 4000 грамм.

Значит, накормить 11 кроликов, соблюдая все условия пункта (в), школьники не смогут.

Вариант с 10 кроликами также невозможен: даже если среди кроликов не будет того, который получил 1000 г, все равно не хватает 500 г корма.

Получается, что число кроликов не больше, чем 9. Мы оценили количество кроликов. Приведем пример, когда кроликов именно 9.

01002003004006007008009001 ученик 100г++++2 ученик 200 г++++3 ученик 300 г++++4 ученик 400 г++++

Варианты 1000 г и 500 г отсутствуют. Все условия задачи выполнены – каждый ученик покормил 4 кроликов, и все кролики получили различное количество корма.

Ответ: 9.

В пункте (в) мы применили метод «Оценка плюс пример». Это один из основных методов решения задач на числа и их свойства.

Сначала мы доказали, что число кроликов не больше 9.

После этого привели пример, когда кроликов ровно 9.

Вот более сложная задача. Здесь тоже применяется метод «Оценка плюс пример».

2. На доске написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равно 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Пусть на доске были написаны числа – всего 30 чисел, причем
.

Вместо каждого из чисел написали число .

Заметим, что если , то 

Пусть на доске было k чисел, не равных 5, и 30 – k пятерок.

Поскольку среднее арифметическое 30 чисел равно их сумме, деленной на 30, сумма 30 чисел на доске равна 30 ∙ 11=330.

Пусть S – сумма k чисел, не равных 5. Тогда
, отсюда .

Пусть m – среднее арифметическое k чисел, которые остались на доске после того, как стерли числа меньшие трёх.

После того, как k чисел были уменьшены в 2 раза, их сумма стала равна , а их среднее арифметическое .

a) Может ли быть

Предположим, что  тогда

;

Пусть , то есть на доске 6 чисел, не равных 5, и 24 пятёрки.

Тогда , .

Подойдут числа:

.

б) Может ли быть  где ?

Предположим, что 

Тогда

отсюда ,

Неравенство не имеет целых решений. Значит, предположение было неверно.

в) Найдем наибольшее m, где .

Сумма k чисел, не равных 5, равна S; мы знаем, что .

;

Очевидно, m максимально при наименьшем возможном k.

Поскольку на доске k чисел, отличных от 5, каждое из этих чисел больше 5 и не превосходит 44 (по условию). Тогда их сумма
.

,

,

Поскольку k – целое,
.

Тогда
;

.

Это оценка. Приведем пример, когда k=5 и m=20,5. На доске 5 чисел, больших пяти, сумма которых равна S=205. Кроме них, на доске находится 25 пятёрок.

По условию, числа, большие пяти, могут быть равны между собой. Возьмем их равными 41 = 205 : 5.

Получим:

В этом случае m = 20,5.

В следующих статьях – читайте о других секретах решения задания 19 Профильного ЕГЭ по математике (Числа и их свойства). Приходите к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы по задаче 19 и на наш Онлайн-курс.

Источник: https://ege-study.ru/metod-ocenka-plyus-primer/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.